Ejemplo inicial de grados de libertad

Para los estadísticos o ingenieros estadísticos el término de “grados de libertad” es muy conocido, incluso en la mayoría de los libros de estadística y probabilidad es muy utilizado pero no dejan un concepto claro sobre el mismo, siendo uno de los más conocidos “el número de variables menos el número de parámetros a estimar”. En forma práctica presento uno de los ejemplos primarios para entender este concepto: Asumiendo que  x_i\sim N(\mu,\sigma^2), sabemos que \overline{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})  y por lo tanto \frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) . Bajo el supuesto que conocemos los parámetros \mu y \sigma^2  se puede notar que el estadístico z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}  se obtienen a partir de n variables independientes  x_i. Es decir, como vimos en nuestro curso de algebra lineal, la dimensión de el espacio dimensional es n. Por otro lado supongamos que desconocemos el valor de \sigma^2 , el cual sería estimado con s^2 , ahora para calcular el valor de s^2 se utilizan n desviaciones respecto a la media y es fácil verificar que las n desviaciones no son independientes sino, por lo contrario, la última desviación depende de las n-1 desviaciones restantes ya que la suma de las n desviaciones tiene que ser igual a 0. Esto produce la pérdida de un grado de libertad y por lo tanto, nuestro estadístico t=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} tiene n-1 grados de libertad. En conclusión, cuando se calcula un estadístico con la necesidad de estimar k parámetros, el número de grados de libertad es n-k. En otras palabras mientras más obligaciones tengas en tu vida, tienes menos grados de libertad. “Y alguien que tiene demasiadas enamoradas casi no tiene grados de libertad porque no va a tener la libertad de movilizarse por donde desee sino que va a tener que evadir la concurrencia a ciertas zonas, para que no lo pillen, perdiendo poco a poco más grados de libertad.”  Espero que hayan disfrutado y se incentiven a interpretar su significado tanto en las pruebas de hipótesis multivariadas, regresión, muestreo y otros.

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